数列极限的定义

数列极限的定义为一。如果存在实数,对于任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数,使得对所有的时,有:

那么就称 极限 ,或者称 收敛于 ,记作:

如果不存在这样的常数,就说没有极限,或者说 发散 的,习惯上也说不存在。

逻辑符号版本为一。如果,有:

那么就称 极限 ,或者称 收敛于 ,记作:

如果不存在这样的常数,就说没有极限,或者说 发散 的,习惯上也说不存在。

这个定义其实就说了两个意思:

  • 猜测:根据的特点,猜测极限为某实数
  • 验证:然后想办法去验证上述猜测的正确性

这两个意思可以借助之后的例子来进一步理解。

1 猜测

先说猜测,对应定义中的“如果存在实数”。因为这里没有说明如何求出,所以只能根据的特点,猜测极限为某实数。具体怎么猜测,在后面的课程中会有更详细的阐述。

比如下图是某的图像,可以看出该不断地逼近图中灰色的平行于轴的虚线,所以可以合理地猜该虚线即为极限

2 验证

然后再说验证,对应定义中的“对于任意给定的正实数(不论它多么小),总存在正整数,使得对所有的时,有”。这里有好几层意思,需要一一讲解。

首先可以随便给一个正实数,以为中心作一个区间,也就是下图中的绿色区域。可以看到,前 3 个点在绿色区间外,之后的点都在绿色区间内,在绿色区域内的点让我们用红色来表示:

如果用数学来表述上图的话,那就是令,当时,始终有

如果对极限的猜测是正确的,那么无论如何缩小,也就是无论如何缩小绿色区域,始终只有有限个点在此区间外。也就是说,总能找到合适的,使得当时,都有

如果对极限的猜测是错误的,随着正实数的缩小,会有无数个点在此区间外,也就是说找不到合适的,使得当时有

3 极限不存在

这里需要强调的是,验证的关键在于,是否有无数个点在区间外。比如下面的情况,当正实数足够小时,可以看到始终有无数个点在区间内,但更重要的是会有无数个点在区间外,这说明该猜测是错误的:

再仔细看一下上图,分为了两个部分,各自的趋势并不一样,所以随便怎么猜测都是错误的,此时极限并不存在。

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