一般函数的极限定义

一般的函数极限 设函数上有定义。如果,有:

那么就称是函数时的 极限 ,或者称当时函数 收敛于 ,记作:

如果不存在这样的常数,就说当时函数没有极限,或者说当时函数 发散 的,习惯上也说不存在。

左极限 设函数上有定义,其中。如果,有:

那么就称是函数时的 左极限 ,或者称当时函数 收敛于 ,记作:

如果不存在这样的常数,就说当时函数没有极限,或者说当时函数 发散 的,习惯上也说不存在。

右极限 设函数上有定义,其中。如果,有:

那么就称是函数时的 右极限 ,或者称当时函数 收敛于 ,记作:

如果不存在这样的常数,就说当时函数没有极限,或者说当时函数 发散 的,习惯上也说不存在。

一般的函数极限、左极限、右极限几乎一样,区别在于:

下面以某函数为例来解释下一般的函数极限,其余两者都差不多。

1 定义域

假设某函数图像如下:

定义中说“在上有定义”,这有两层意思:

  • 附近有定义即可,也没有规定这个附近有多大,所以图像上我们在附近随便圈定了一个范围
  • 上有定义,也就是不关心在点是否有定义,所以图像上我们用空心点来表示

上面这两层意思可以用下图来表示:

为了讲解方便,我们一般还是默认的定义域为。但为了强调点依然用空心点来表示。

2 猜测

通过观察容易看出,越靠近点函数图像越接近图中的黑色虚线,所以可合理猜测的极限为,也就是该黑色虚线:

3 验证

随便给一个,以为中心作一个区间,也就是下图中的绿色区域。可以找到,使得在时,函数的图像都在绿色区域内,让我们用红色来表示:

不断缩小,总,使得在时,函数的图像都在绿色区域内:

上面所说的用数学符号来表示即为,时有。根据本节的定义,所以有

4 常用的一般函数极限
(1),(2),(3) (1)证明。令(这是常数函数),,任取时有,所以

        (2)证明。令,取时有:

所以

        (3)证明。令,取时有:

所以

根据,上述定理还可以推出:

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