间断点

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马同学

间断点

设函数 $y=f(x)$ 在 $\mathring{U}(x_0)$ 有定义，如果该函数 $y=f(x)$ 有下列三种情形之一：

（1）在 $x=x_0$ 没有定义；

（2）虽在 $x=x_0$ 有定义，但 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 不存在；

（3）虽在 $x=x_0$ 有定义，且 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，但 $\lim_{x\to x_0}f(x)\ne f(x_0)$ ；

那么称函数 $y=f(x)$ 在 $x_0$ 点不连续（Discontinuous）， $x_0$ 点称为函数 $y=f(x)$ 的不连续点（Discontinuities）或间断点。

下面来看几个间断点的例子。

1 无穷间断点

比如正切函数 $y=\tan x$ ：

在 $x=\frac{\pi}{2}$ 时没有定义
根据之前证明过的 $\sin x$ 、 $\cos x$ 是连续函数，可推出：
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cot x=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{\cos x}{\sin x}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\cos x}{\displaystyle\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\sin x}=\frac{\cos \frac{\pi}{2}}{\sin \frac{\pi}{2}}=0$
根据无穷小与无穷大的关系，从而有：
$\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\tan x=\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}\frac{1}{\cot x}=\infty$

所以 $x=\frac{\pi}{2}$ 是函数 $y=\tan x$ 的间断点，也称为函数 $y=\tan x$ 的无穷间断点（Infinite discontinuity）：

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无穷间断点是第二类间断点。

2 振荡间断点

又比如函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ ：

在 $x=0$ 时没有定义
之前证明过的 $\lim_{x\to 0}\sin \frac{1}{x}$ 是不存在的
函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 在 $\mathring{U}(0)$ 来回、无限次震荡

所以 $x=0$ 是函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 的间断点，也称为函数 $y=\sin \frac{1}{x}$ 的振荡间断点（Oscillation discontinuity）：

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振荡间断点是第二类间断点。

3 可去间断点

再比如函数 $y=\frac{\sin x}{x}$ 在 $x=0$ 时没有定义，所以 $x=0$ 是函数 $y=\frac{\sin x}{x}$ 的间断点：

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不过如果在 $x=0$ 处补充定义：

$f(x)=\begin{cases} \displaystyle\frac{\sin x}{x},&x\ne 0\\ 1,&x=0 \end{cases}$

那么就有 $\lim_{x\to 0}f(x)=1=f(0)$ ，也就是说补充定义后的得到的函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 点连续：

所以 $x=0$ 也称为函数 $y=\frac{\sin x}{x}$ 的可去间断点（Removable discontinuity）。可去间断点是第一类间断点。

4 跳跃间断点

最后再来看看函数 $f(x)=\begin{cases}x-1,&x<0\\0,&x=0,x+1,&x>0\end{cases}$ ， $\lim_{x\to 0}f(x)$ 不存在，所以 $x=0$ 是函数 $y=f(x)$ 的间断点：

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因 $y=f(x)$ 的图像在 $x=0$ 处有跳跃，所以 $x=0$ 也称为函数 $y=f(x)$ 的跳跃间断点（Jump discontinuity）。跳跃间断点是第一类间断点。

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