间断点

间断点 设函数有定义,如果该函数有下列三种情形之一:

(1)在没有定义;

(2)虽在有定义,但不存在;

(3)虽在有定义,且存在,但

那么称函数 不连续 (Discontinuous),点称为函数 不连续点 (Discontinuities)或 间断点

间断点的分类为函数的间断点:

(1)如果以及都存在,则称为函数 第一类间断点 (Discontinuity of the first kind);

(2)其余的就称为 第二类间断点 (Discontinuity of the second kind)。

下面来看几个间断点的例子。

1 无穷间断点

比如正切函数

  • 时没有定义
  • 根据,可推出:

    根据,从而有:

所以是函数的间断点,也称为函数 无穷间断点 (Infinite discontinuity):

无穷间断点是第二类间断点。

2 振荡间断点

又比如函数

  • 时没有定义
  • 是不存在的
  • 函数来回、无限次震荡

所以是函数的间断点,也称为函数 振荡间断点 (Oscillation discontinuity):

振荡间断点是第二类间断点。

3 可去间断点

再比如函数时没有定义,所以是函数的间断点:

不过如果在处补充定义:

那么就有,也就是说补充定义后的得到的函数

所以也称为函数 可去间断点 (Removable discontinuity)。可去间断点是第一类间断点。

4 跳跃间断点

最后再来看看函数不存在,所以是函数的间断点:

的图像在处有跳跃,所以也称为函数 跳跃间断点 (Jump discontinuity)。跳跃间断点是第一类间断点。

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