定义 1. 若的存在，则称该期望为 条件期望 。

说明 .例如，对于定义在同一上的和，有：

• 在条件下，的条件期望为：

• 在条件下，的条件期望为：

由于更易于记忆，因此本书讲解时会优先采用这种表示。

考虑之前讨论过的由性别（）和身高（）构成的，其及如表 1 所示。下面借此来说明条件期望（定义 1 ）的计算过程。

根据表 1 中的，以及，可得的（平均身高）：

基于表 1 中的，以及条件期望的定义（定义 1 ），可得在条件下的和条件期望（男性平均身高）：

同理，可得在条件下的和条件期望（女性平均身高）：

定理 1（全期望公式）.对于定义在同一个上的和，有：

证明 .因（为的各个可能取值）为的一个，由可得：

结合，利用求和的可交换性即，当或绝对收敛时成立。，所以：

由条件期望的定义（定义 1 ）可知，代入上式可得：

全期望公式（定理 1 ）是的直接推论，两者有着异曲同工之妙：

前文提到的平均身高、男性平均身高以及女性平均身高，就可通过全期望公式（定理 1 ）建立联系：

我们可以将数据代入进行验证：

例 .若服从参数为的，求。

解 .由可知表示“首次成功所需的尝试次数”，每次尝试成功的概率为。因此：

在（“第1次就成功”）的条件下，“首次成功所需的尝试次数”必然是1次。因此在的条件下，的条件期望为：

在（“第1次没有成功”）的条件下，由于，相当于额外消耗1次尝试后重新开始。因此在的条件下，的条件期望为：

根据全期望公式（定理 1 ），所以：

进行移项后可得：

此结果与中给出的完全一致。