定义 1. 若的存在，则称该期望为 条件期望 。例如，对于定义在同一上的和，有：

• 在条件下，的条件期望为：
• 在条件下，的条件期望为：

条件期望（定义 1 ）虽然简单，但计算中的细节仍需结合示例来体会。考虑之前讨论过的表示性别（）、身高（）的，其以及如下所示：

由身高的可求出的（平均身高）：

基于的，可得在条件下的和条件期望（男性平均身高）：

以及，在条件下的和条件期望（女性平均身高）：

定理 1（全期望公式）.对于定义在同一个上的和，有：

证明 .由可知，（其中代表所有可能的取值）构成的一个。结合上，所以：

再结合上，所以：

根据条件期望的定义（定义 1 ），有，故上式可改写为：

全期望公式（定理 1 ）是的直接推论，两者在形式和意义上都有着异曲同工之妙：

前文提到的平均身高、男性平均身高以及女性平均身高，就可通过全期望公式（定理 1 ）建立联系：

我们可以将数据代入进行验证：

例 .若服从参数为的，请求。

解 .由于，所以表示“首次成功所需的尝试次数”，且每次尝试成功的概率为。因此有：

在“第1次就成功”的条件下，“首次成功所需的尝试次数”是1次。即在的条件下，的条件期望为：

在“第1次没有成功”的条件下，由于，相当于浪费了1次机会，需要重新开始。因此在的条件下，的条件期望为：

根据全期望公式（定理 1 ），所以：

进行移项后可得：

上述结果和中给出的完全一致。