（1）直接求解球面在点，因为点在上半球面，所以给出上半球面的函数，该上半球面在点的及该的为：

根据，所以球面在点的切平面方程为：

根据，所以球面在点的法线方程，即切平面在点的法线方程如下，化简后还可看出这是过原点的直线：

如下图所示，其中标出了点，以及点的切平面、法线。

        （2）或借助来求解。首先令，则球面的方程可改写为：

我们知道过点且在球面上的曲线是无限多的，比如下图所示的两条红色曲线。

设这些红色曲线的为，且时对应于点，即：

因这些红色曲线在球面上，所以有：

可合理假设存在、及，这是因为过点且在球面上的曲线无限多，其中肯定有光滑的曲线，也就是有满足、及存在的曲线。所以根据，对上式两侧对求导可得：

所以在时有：

令以及，则上式可以改写为：

根据上式可以分析出，

• 代表了一些过点且在球面上的曲线，故是这些曲线的导向量，如下图所示
• 由于点的切平面存在，所以这些都在该切平面上，如下图所示
• 根据可知于这些，也就正交于点的切平面，所以是该切平面的，如下图所示

下面将求出来，因为，所以：

所以：

这是（1）中得出的的倍，两者在一个方向上，所以最终得到的切平面以及法线都是一样的，这里就不再赘述了。

所以在点的切平面的为：

根据，所以在点的切平面方程为：

根据，所以在点的法线方程为：