定理 1（协方差的计算公式）.对于，有：。

证明 .根据，以及线性函数的期望，可得：

例 1.设的联合概率密度函数为：

求。

解 .根据二元函数的期望，可得：

根据协方差的计算公式（定理 1 ），可得和的，以及和正相关：

定理 2.若和，则和不相关，但反之不成立。

说明 .（1）独立 不相关。根据独立变量的期望性质，以及协方差的计算公式（定理 1 ），当和时有：

（2）不相关独立。考虑以下反例：设服从以原点为圆心、半径为的圆形区域上的，如图 1 所示。由于关于原点（圆心）对称，所以均值中心，一三象限的红色矩形面积（代表“同向变化”）和二四象限的蓝色矩形面积（代表“异向变化”）彼此抵消，如图 2 所示，这意味着和不相关。

图 1 圆心为原点、半径为的圆形区域

图 2 一三象限红色，二四象限蓝色，无占优

然而，已说明，和不是的。如图 3 和图 4 所示，的取值会影响的取值。

图 3 给定条件下，的可能取值

图 4 给定条件下，的可能取值

（3）综上，意味着不存在任何依赖关系，自然也没有“同向/异向变化”的关系，所以可推出不相关。但不相关仅意味着没有“同向/异向变化”的关系，仍可能存在其他的关系，因而无法推出。

定理 3.对于以及常数、，具有以下性质：

证明 .根据，以及期望的性质，即可得证：

直观解释下定理 3 中的。设是“黄金价格”，是“你持有金矿股的收益”，显然（正相关）：黄金价格上涨，开采公司利润增加，股价上涨，你的收益也水涨船高；反之亦然。

现在，你把持仓增加到原来的10倍，收益相应变为。此时，相同的黄金价格波动会给你的收益带来10倍的影响：

定理 4.对于，有：。

证明 .根据协方差的计算公式（定理 1 ），以及线性函数的期望，可得：

直观解释下定理 4 。设是“黄金价格”，是“白银价格”，是“你持有贵金属基金的收益”。容易理解，金价和银价的联合波动对基金收益的影响，就是金价波动对基金收益的影响，加上银价波动对基金收益的影响：

定理 5.对于，有：。

证明 .根据、线性函数的期望以及，所以：

将上式中的替换为，即可得证。

直观解释下定理 5 。设是“A股票的收益”，是“B股票的收益”。考虑投资组合（同时买入两只股票），该投资组合的波动性来自个股波动，以及相关性带来的波动：

• 如果两只股票正相关（），它们往往同涨同跌，组合波动增加
• 如果两只股票负相关（），它们往往反向波动，组合波动降低
• 如果两只股票不相关（），它们的波动既非同向也非异向，组合波动不会额外增减

从而最终有：

投资组合（买入A股票、卖空B股票）的波动性计算类似，此处不再赘述。