对于空间中更一般的平行四边形，其朝向有非常多的可能性，如下图所示。

为表示这些更一般的平行四边形，数学家定义了一种特殊的运算：

下面是上述定义的解释，首先解释下叉积的几何意义。设某平行四边形由和围成，叉积是一个，其满足如下性质（此处不做证明）：

• 方向：从往握拳，右手大拇指的朝向为其方向；或说其垂直于该平行四边形，是该平行四边形的法向量
• 模长：该平行四边形的面积

所以叉积的几何意义就是表示了空间中由和围成的平行四边形，如下图所示（为了展示方便，这里缩短了的长度）。

再来看看上述定义中给出的叉积的计算方法。如下图所示，上述平行四边形在面、面、面都有投影。

将三个面上的投影加起来就得到了叉积，即：

为什么这三个面的投影的表达式是上面这样的呢？让我们继续来解释。

先来看看上述平行四边形在面上的投影，该投影由和在面的投影和围成，如下图所示。

因为在面上坐标都为，可认为没有坐标，所以该投影可看作是由和围成的。根据上一节的分析，因此该投影可以表示为。

同样的道理，上述平行四边形在面上的投影可以表示为，请同学们自行推导。

上述平行四边形在面上的投影有点不一样，该投影由和在面的投影和围成，如下图所示。这里需要注意的是，因为这是在面上，所以投影和的坐标是先后。

结合上，所以上述平行四边形在面上的投影可以表示为：

综上，所以有：

其中并非真的是，写成这样的形式只是借助来帮助记忆向量积。

顺便再说一句，在有的教科书中也将向量积定义如下，本质上和本节的定义是一样的：

当、时，即、共线时，自然无法围成平行四边形，或者说围成的平行四边形的面积为，如下图所示。

所以有如下判断、的充要条件：