复合函数的连续性

1 是连续函数
设函数由函数和函数复合而成,在有定义,若,函数在点,则:

还可以写作(也就是符号可以穿透):

根据函数在点可知,再根据可得,,时有:

很显然时上式也满足,所以可改写为,,时有:

由可得,对于上面的,,时有:

综上,从而:

即。

上述定理和非常相似,只是没了的限制。这个条件,其实就是为了规避不是的情况,具体可以查看。

2 、是连续函数
设函数由函数和函数复合而成,在有定义,若函数在点,且,而函数在点,则函数在点也。 根据上一节的定理有:

因为这里给出了函数在点,且,所以上式可以改写为:

所以函数在点也。

3 两者的区别

“是连续函数”和“、是连续函数”两者大同小异,这里进行一下比较:

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