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相关变化率

例 .球型气球以2cm^3/s的恒定速率填充空气,当半径为3cm时,半径增加的速度有多快?
马同学高等数学
解 .(1)相关变化率。充气时,球型气球的体积和半径都会随着时间增加而同时变化,可以看作一个与时间相关的参数方程(V表示体积,r表示半径):


 \begin{cases}
    V=V(t)\\
    r=r(t)
\end{cases}

题目中告知了气球的体积变化率V'(t)=\frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t},要求的是半径变化率r'(t)=\frac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t},这两个变化率肯定是相互关联的,所以这两者被称为 相关变化率 ,这类问题被称为相关变化率问题。

        (2)计算半径增加的速度。因球的体积公式为V=\frac{4}{3}\pi r^3,所以代入参数方程可得:


 \begin{cases}
    V=V(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi [r(t)]^3\\
    r=r(t)
\end{cases}

V(t)两侧对t求导,结合上链式法则,可算出气球的体积变化率为:

V'(t)=4\pi[r(t)]^2r'(t)

题目条件是球型气球以2cm^3/s的恒定速率填充空气,要求当半径为3cm时半径增加的速度,即已知V'(t)=2cm^3/sr(t)=3cm,所以:


\begin{aligned}
    \left.\begin{aligned}V'(t)=4\pi[r(t)]^2r'(t)\\V'(t)=2cm^3/s\\r(t)=3cm\end{aligned}\right\}
        &\implies2cm^3/s=(4\pi (3cm)^2)\cdot r'(t)\\
        &\implies r'(t)=\frac{1}{18\pi}cm/s
\end{aligned}

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