例 .球型气球以的恒定速率填充空气,当半径为
时,半径增加的速度有多快?
解 .(1)相关变化率。充气时,球型气球的体积和半径都会随着时间增加而同时变化,可以看作一个与时间相关的参数方程(表示体积,
表示半径):
题目中告知了气球的体积变化率
,要求的是半径变化率
,这两个变化率肯定是相互关联的,所以这两者被称为 相关变化率 ,这类问题被称为相关变化率问题。
(2)计算半径增加的速度。因球的体积公式为
,所以代入参数方程可得:
在
两侧对
求导,结合上链式法则,可算出气球的体积变化率为:
题目条件是球型气球以
的恒定速率填充空气,要求当半径为
时半径增加的速度,即已知
和
,所以: