相关变化率

马同学

相关变化率

例 .球型气球以 $2cm^3/s$ 的恒定速率填充空气，当半径为 $3cm$ 时，半径增加的速度有多快？

解 .（1）相关变化率。充气时，球型气球的体积和半径都会随着时间增加而同时变化，可以看作一个与时间相关的参数方程（ $V$ 表示体积， $r$ 表示半径）：
$\begin{cases} V=V(t)\\ r=r(t) \end{cases}$
题目中告知了气球的体积变化率 $V'(t)=\frac{\textrm{d}V}{\textrm{d}t}$ ，要求的是半径变化率 $r'(t)=\frac{\textrm{d}r}{\textrm{d}t}$ ，这两个变化率肯定是相互关联的，所以这两者被称为相关变化率，这类问题被称为相关变化率问题。
（2）计算半径增加的速度。因球的体积公式为 $V=\frac{4}{3}\pi r^3$ ，所以代入参数方程可得：
$\begin{cases} V=V(t)=\displaystyle\frac{4}{3}\pi [r(t)]^3\\ r=r(t) \end{cases}$
在 $V(t)$ 两侧对 $t$ 求导，结合上链式法则，可算出气球的体积变化率为：
$V'(t)=4\pi[r(t)]^2r'(t)$
题目条件是球型气球以 $2cm^3/s$ 的恒定速率填充空气，要求当半径为 $3cm$ 时半径增加的速度，即已知 $V'(t)=2cm^3/s$ 和 $r(t)=3cm$ ，所以：
$\begin{aligned} \left.\begin{aligned}V'(t)=4\pi[r(t)]^2r'(t)\\V'(t)=2cm^3/s\\r(t)=3cm\end{aligned}\right\} &\implies2cm^3/s=(4\pi (3cm)^2)\cdot r'(t)\\ &\implies r'(t)=\frac{1}{18\pi}cm/s \end{aligned}$