罗尔中值定理

证明多项式方程:

每两个相邻实根之间,至少有多项式方程:

的一个实根。

把第一个多项式方程的左边看作函数:

第二个多项式方程的左边实际上就是:

则上述问题变成了,的每两个相邻实根之间必有的实根。用几何来翻译下这个问题:

轴的交点就是的实根,根据罗尔中值定理,两相邻实根之间至少有一个,也就是至少有的一个实根。

这个问题实际上是罗尔中值定理的起源。

如果函数满足:
  • 在闭区间
  • 在开区间

那么,使得

由于函数在区间上连续,根据上存在。这样存在两种可能性:

(1)。此时函数为常值函数上处处为

(2)。因为,所以至少有一个不在端点上。设不在端点上,且,此时显然,即有对任意的,有,又由于在开区间,所以根据,有

下面通过两个生活中的现象来解释下罗尔中值定哦。

1 往返跑

大家见过往返跑吧,像下面这样:

如果用位移-时间图来描述往返跑的话,那么最明显的特点就是起点、终点的位移相同,也就是点、点的位移相同。可以图示如下:

因为往返跑要回到起点,所以中间必定有速度为的点,即有

2 拳击赛

或者可以想象一下拳击比赛,选手的步伐灵活且复杂:

但不论怎样,只要最后回到起点,中间必定有速度为的点:

3 开区间可导

不少同学会疑惑,能不能将罗尔中值定理的条件进行如下修改?

答案是不可以,因为这样的修改并不等价,比如:

上述函数就刚好满足“在闭区间上连续,在开区间上可导”,其在端点,它也是可以运用罗尔中值定理的,即使得(甚至还有无穷多个):

练习题1 将罗尔中值定理的条件进行如下修改,请问是否可以?

可以 不可以 不可以。比如下图就满足,且在开区间,不满足在闭区间点不)。从图中可以看出,没有
练习题2 将罗尔中值定理的条件进行如下修改,请问是否可以?

可以 不可以 不可以。比如下图就满足,且在闭区间,不满足在开区间点不)。从图中可以看出,没有
练习题3 方程 有一负根 有两负根 有一正根 有两正根 有一正根。分两步来判断。

        (1)存在一个正根。设,容易观察出,所以由可知,使得

        (2)只存在一个根。用反证法,假设存在两点使得,n那么由可知,使得,即有:

显然不存在实数使得上式成立,所以不会有两个及以上的根。

综合(1)、(2)可知,只有一个正根。

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