证明多项式方程：
每两个相邻实根之间，至少有多项式方程：
的一个实根。
把第一个多项式方程的左边看作函数：
第二个多项式方程的左边实际上就是：
则上述问题变成了，的每两个相邻实根之间必有的实根。用几何来翻译下这个问题：
与轴的交点就是的实根，根据罗尔中值定理，两相邻实根之间至少有一个，也就是至少有的一个实根。
这个问题实际上是罗尔中值定理的起源。
如果函数满足：那么，使得。
由于函数在区间上连续，根据，在上存在和。这样存在两种可能性：（1）。此时函数为常值函数，在上处处为。
（2）。因为，所以和至少有一个不在端点上。设不在端点上，且，此时显然是，即有对任意的，有，又由于在开区间上，所以根据，有。
下面通过两个生活中的现象来解释下罗尔中值定哦。
大家见过往返跑吧，像下面这样：
如果用位移-时间图来描述往返跑的话，那么最明显的特点就是起点、终点的位移相同，也就是点、点的位移相同。可以图示如下：
因为往返跑要回到起点，所以中间必定有速度为的点，即有：
或者可以想象一下拳击比赛，选手的步伐灵活且复杂：
但不论怎样，只要最后回到起点，中间必定有速度为的点：
不少同学会疑惑，能不能将罗尔中值定理的条件进行如下修改？
答案是不可以，因为这样的修改并不等价，比如：
上述函数就刚好满足“在闭区间上连续，在开区间上可导”，其在端点和处，它也是可以运用罗尔中值定理的，即使得（甚至还有无穷多个）：
练习题1
将罗尔中值定理的条件进行如下修改，请问是否可以？
可以
不可以
不可以。比如下图就满足，且在开区间上，不满足在闭区间上（点不）。从图中可以看出，没有：
练习题2
将罗尔中值定理的条件进行如下修改，请问是否可以？
可以
不可以
不可以。比如下图就满足，且在闭区间上，不满足在开区间上（点不）。从图中可以看出，没有：
练习题3
方程
有一负根
有两负根
有一正根
有两正根
有一正根。分两步来判断。 （1）存在一个正根。设，容易观察出，，所以由可知，使得。
（2）只存在一个根。用反证法，假设存在两点使得,n那么由可知，使得，即有：
显然不存在实数使得上式成立，所以不会有两个及以上的根。
综合（1）、（2）可知，只有一个正根。
