柯西中值定理

柯西中值定理

设函数满足以下条件:
  • 在闭区间上连续
  • 在开区间上可导
  • 有:

则存在,使等式

成立。

(1)证明

根据拉格朗日中值定理,存在一点,满足:

根据题意,,因此:

(2)构造罗尔中值定理所需的辅助函数

构造函数:

显然,在闭区间上连续,开区间内可导,且:

(3)根据罗尔中值定理得出结论

适合罗尔定理的条件,因此在内至少有一点,使:

由此得:

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马同学高等数学
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