拉格朗日余项
假设在内具有阶导数,则在存在阶泰勒多项式,同样有泰勒公式:
此时可以表示为:
其中,为及之间的某个值。该余项称为。
由条件易知,在内具有阶导数,且:
对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理:
因为是变量,所以也是变量,所以再对函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理:
如此反复,经过次后可得:
注意到(因为),所以:
皮亚诺余项
假设在处有阶导数,则有:
其中:
称为。
因为:
所以:
因为在处阶可导,所以在处也阶可导,可以反复使用洛必达法则求解:
所以:
泰勒多项式与始终还是有差别, 这种差别可以在代数上可以用函数来表示,因此有: