拉格朗日余项
此时可以表示为：
其中，为及之间的某个值。该余项称为。
对两个函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理：
因为是变量，所以也是变量，所以再对函数及在以及为端点的区间上应用柯西中值定理：
如此反复，经过次后可得：
注意到（因为），所以：
皮亚诺余项
其中：
称为。
所以：
因为在处阶可导，所以在处也阶可导，可以反复使用洛必达法则求解：
泰勒多项式与始终还是有差别, 这种差别可以在代数上可以用函数来表示，因此有：
