泰勒余项

拉格朗日余项

假设内具有阶导数,则在存在阶泰勒多项式,同样有泰勒公式:

此时可以表示为:

其中,之间的某个值。该余项称为

由条件易知,内具有阶导数,且:

对两个函数在以为端点的区间上应用柯西中值定理:

因为是变量,所以也是变量,所以再对函数在以为端点的区间上应用柯西中值定理:

如此反复,经过次后可得:

注意到(因为),所以:

皮亚诺余项

假设处有阶导数,则有:

其中:

称为

因为:

所以:

因为阶可导,所以处也阶可导,可以反复使用洛必达法则求解:

所以:

泰勒多项式与始终还是有差别, 这种差别可以在代数上可以用函数来表示,因此有:

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马同学高等数学
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