本节会完成两件事情，找到某曲面上方便计算的两条曲线，以及求出这两条曲线的微分。

先找到某曲面上方便计算的两条曲线。设某曲面的函数为，为了寻找该曲面在点的微分，出于简化计算的目的，一般会借助位于该曲面上，且

• 过点、平行于轴的空间曲线（马上会解释该空间曲线位于平面上，该平面与轴不相交，故说该平面与轴平行；还有一个值得注意的特点是，该平面垂直于面。为方便解说，从而我们说该曲线平行于轴），如下图中的红色曲线
• 过点、平行于轴的空间曲线（类似的，该空间曲线位于平面上，该平面与轴平行。为方便解说，从而我们说该曲线平行于轴），如下图中的蓝色曲线

这两根曲线在点的，即下图中的两根黑色直线，显然是不重合的。在数学中，它们分别被称为曲面在点，及曲面在点，或笼统地称为曲面在点的 偏微分 （Partial differential）。

接着的任务就是求出上述的偏微分，这需要把这两条空间曲线用代数表示出来。以其中位于曲面上、过点、平行于轴的空间曲线为例，该空间曲线可以看作平面与曲面的交线，如下图所示。根据，所以该空间曲线的方程为。

该空间曲线的微分，即曲面在点对的偏微分，也在平面上，如下图所示。

上述空间曲线及其微分都在平面上，所以两者都可转到面上去处理，如下图所示，

• 对于上述空间曲线，其方程为，将代入就得到了该空间曲线在面上的函数，如此就将该空间曲线转为了面上的平面曲线
• 而上述空间曲线的微分，转为了平面曲线在点的

要求出在点的，自然需要先求出在点的。根据，所以有：

在多元函数的微积分中，上述导数也称为偏导数。其具体定义如下：

所以在点的就是上述定义中的在点对的偏导数，即：

而在点的就是上述定义中的在点对的偏导数（如果想求出在点对的偏微分，就会用到这个偏导数），即：

有了偏导数后，结合上，就可得平面曲线在点的为，这是在点建立的坐标系中过原点的直线，如下图所示（还有不清楚的，可以查看《马同学图解微积分（上）》中的的讲解）。

若在空间中的点建立坐标系，如下图所示。

将变换到坐标系下，空间曲线在点的微分，也就是曲面在点对的偏微分，这是在平面（即平面）上的直线，如下图所示。

所以，空间曲线在点的微分，也就是曲面点对的偏微分，在坐标系下的方程为：

同理，空间曲线在点的微分，也就是曲面点对的偏微分，在坐标系下的方程为：