微积分第一基本定理

1 积分上限函数
若函数在区间,那么在区间,该可记作,这里为了明确起见,来表示。

如果上限在区间上变动,那么对于每一个给定的都有一个对应值,所以它在上定义了一个函数,记作:

该函数称为 积分上限函数

举例说明下上述定理。如下图所示,其中的函数在区间

容易理解,在上任取一点,那么该函数在区间上也,如下图所示。值得注意的是,为了不和中的混淆,这里的来表示。

每一个给定的都对应一个给定的,将这两者的关系记录下来,那么就得到了积分上限函数,如下图所示(是因为)。

2 微积分第一基本定理
若函数在区间,那么积分上限函数,其为:

,使得,则:

由此得函数的增量:

再应用,在之间存在,使得:

由于在区间,而时有,因此有。所以根据上式可得:

时,取,则同理可证;若时,取,则同理可证

上述定理说的就是,当在区间时,积分上限函数的一个

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