无穷限的反常积分

有一些限制条件:

  • 要求定义在闭区间
  • 要求有界

针对上述限制,数学家对进行了两种推广,从而形成了 反常积分 ,其具体定义如下:

以下三种反常积分统称为 无穷限的反常积分

        (1)若函数在区间,任取,则代数式称为函数在区间上的反常积分,记作,即:

若上述存在,则称该反常积分收敛,极限值为该反常积分的值;否则称该反常积分发散。

        (2)若函数在区间,任取,则代数式称为函数在区间上的反常积分,记作,即:

若上述存在,则称该反常积分收敛,极限值为该反常积分的值;否则称该反常积分发散。

        (3)若函数在区间,则反常积分与反常积分之和称为函数在区间上的反常积分,记作,即:

若上述之和存在,则称该反常积分收敛,和值为该反常积分的值;否则称该反常积分发散。

这里举例说明一下上述定义。先来看看定义(1),如下图所示,函数在区间

随着上限,就得到了在区间上的反常积分,如下图所示。若该极限存在,那么就说该反常积分收敛,否则发散。

定义(2)是的情况,如下图的左侧所示;定义(3)是的情况,如下图的右侧所示。

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