比如函数，其对应的曲面如下图所示，看上去比较像起伏的群山。

函数和平面的交线为，该交线包含了该函数曲面上高度为的所有点，如下图所示。若将该交线投影到面上，并标注上，就得到了 等高线 （Contour line），其在面上的方程为。

上下移动平面可得不同高度的等高线，比如下图中用不同颜色标注出来的、、和等高线，最终可以得到 等高线图 （Contour map）。

并非总表示高度，还可以是深度、温度、价格等等，所以更一般的称为 等值线 。如果引入三元函数，那么称为 等值面 。

以下图为例，其中有函数对应的曲面及其等值线图、某些等值线上的点及该点的，从中可解读出，

• 因为指向上升最快的方向，所以一、三象限对应的图形是山谷，二、四象限对应的图形是山峰
• 因为模长是的最大值，所以较长者对应的地形就会较为陡峭，周围的等值线也会比较密；而较短者对应的地形会比较平缓，周围的等值线就较为稀疏

若总是沿梯度的方向前进，很快就可到达山顶。如下图所示，

• 右侧等值线图中的蓝线的切向量就是，这里用两个红色箭头来表示
• 当红点沿蓝线前进时，也就是沿梯度的方向前进，很快就会到达山顶
• 右侧等值线图中的蓝线对应左侧三维图形中的蓝线，容易看出，沿左侧蓝线可以很快到达山顶

设函数的等值线为，假设在点满足的条件，则在点的某一内有函数(也可能是有函数，不妨碍后面得到相同的结论，同学们可自行推导)，所以等值线在点的某一内可写作，所以在该点的切向量为：

而函数在点的，所以有：

根据可知，即等值线在点的是。该结论可通过下图来理解，在点等值线的切向量和梯度。

或这么来理解上述结论，以下图为例，左侧三维图像中的蓝线对应右侧等值线图中的蓝线。若沿该蓝色等值线的切向量的方向行走，实际就是在该等值线上行走，根据等值线的定义，或从左侧三维图像可以看出，这样的行走是没有高度变化的。

，在时有，即在时有：

综上，所以：