这里举例说明下上述定义，比如下图中的左、右两侧的函数就分别是凹的和凸的。

下面来具体解释一下，以上图中左侧的凹函数为例。假设该函数为，任取，此两点对应的函数值分别为。那么：

• 就是的中点
• 是上述中点对应的函数值
• 是上述中点在连线上的值（连线所在的直线函数为：

  代入中点，也就是令可得：

  所以说是中点在连线上的值

  ）

所以意味着，中点对应的函数值在连线值的下方，如下图所示。

因为的任意性，所以实际上说的是，在上任取两点，两点之间的函数曲线一定在两点连线的下方，如下图所示。

凸函数的情况也是一样的，只是说明了函数曲线都在连线的上方，这里就不再赘述了。

我们可通过如下的逻辑链条来理解上述定理：

对于上述逻辑链条这里举例说明下。对函数而言，如果其二阶导数满足，根据导数与函数的单调性，那么意味着是严格单调递增的，此时函数的微分的变化就会类似于下面的动图（微分的斜率就是导数）：

• 为金黄色时导数小于 0
• 为紫色时，也就是闪烁时导数等于 0
• 为红色时导数大于 0

当函数是凹的时，就可以要满足上述变化。

的情况也是一样的，这里就不再赘述了。