必存在，即收敛。

设，由及收敛，得：

这表明在有上界，根据定理1可知收敛。

这个定理还是比较好理解，从几何意义上看：

如果的面积是有限（收敛）的，比它小的的面积必然是有限（收敛）的。

证明（2）：

已知，且发散，如果收敛，则与（1）矛盾，所以发散。

这里主要是根据反常积分：

然后结合定理2得到结论。

已知，可知且，时有：

从而：

令，则时有：

根据定理3，可知收敛，而：

从而收敛。

再证（2）：

已知，可知且，时有：

从而：

令，则时有：

根据定理3，可知发散，从而发散。

又：

所以收敛。