向量的数学定义

个有序的数所组成的数组称为,这个数称为该向量的个分量,第个数称为第个分量。维向量可写成一行,也可写成一列。分别称为
  • 维列向量:
  • 维行向量:

也称为该向量的

在我们的文档中,经常用加粗的字母来表示向量:

1 几何意义

比如向量,对应的就是起点在原点,终点在的向量:

以此类推,直角坐标系中的每个坐标和一个向量是一一对应的:

所以,既可以用箭头来表示一个向量,也可以用某个点来表示一个向量,在我们的文章中会混用这两者:

用箭头来表示向量

用点来表示向量

2 相等的向量

数学中的向量起点都在原点,所以比较相等只需要看终点是否相同。从代数上讲,就是看向量的各个分量是否相等:

不区分列向量和行向量的话,下面两个向量也是相等的:

3 零向量

特别的,分量全为零的向量称为,记做

从几何上理解,就是二维平面、三维空间的原点,也就是起点和终点是同一个点的向量:

零向量非常特殊:

  • 长度:零向量的长度为0
  • 方向:零向量指向任意方向
  • 夹角:因为零向量指向任意方向,所以它与某一向量的夹角为任意角度
  • 平行与正交:因为夹角任意,所以零向量与任意向量平行、正交
4 抽象

有一些抽象信息也可以表示为向量,比如某游戏中人物的信息:

可以表示为向量:

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