线性相关的升降维

,那么:

        (1)如果线性无关,则给向量组中的每个向量增加第个分量后,该向量组依旧线性无关,或者简单叙述为:线性无关的向量组,升维后仍线性无关;

        (2)如果线性相关,则去掉向量组中的每个向量的第个向量,该向量组依旧线性相关,或者简单叙述为:线性相关的向量组,降维后仍线性相关。

下面通过举例来这两个结论进行说明,严格证明的过程和下面类似,只是更加繁琐:

        (1)假设下列向量组线性无关:

那么的定义,当且仅当有:

将向量升维后,同样有当且仅当(否则前三个分量不会为0):

所以线性无关的向量组,升维后仍然线性无关。

        (2)假设下列向量组线性相关:

那么的定义,存在不全为,使得:

将向量降维后同样有:

所以线性相关的向量组,降维后仍然线性相关。

通过几何来理解一下该结论,在二维平面中不在一条直线上的向量(线性无关),升维之后依然不在一条直线上(依然线性无关):

二维平面中的线性无关

升维后的依然线性无关

反过来就不一定了,在三维空间中不在一条直线上的向量(线性无关),它们的投影,也就是降维后却有可能在一条直线上(线性相关):

三维空间中的线性无关

它们的投影却线性相关

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