线性微分方程

1 线性微分方程
如果某能写成:

那么该就称为 n 阶线性微分方程 。如果,那么该方程就是 齐次 的,否则就是 非齐次 的。

之所以称为阶线性微分方程,是因为如果将上述微分方程等号的左侧看作关于的函数,即:

那么该函数符合,也就是满足:

  • 齐次性:
  • 可加性:

“齐次”与“非齐次”则和类似。

2 线性相关与线性无关
为定义在区间上的个函数,如果存在不全为零的实数,使得当时恒有:

那么称在区间 线性相关 的,否则称 线性无关

这和《线性代数》中的几乎完全一样,可以类比进行理解。这里特殊的是将个函数看作了

3 齐次线性微分方程的通解
如果阶齐次线性微分方程

个线性无关的解,那么此方程的为:

这和非常类似,可以进行类比理解。

举一个例子,比如是二阶齐次线性方程,容易验证是所给方程的两个解。如果这两个解线性相关的话,也就是说存在不全为零的实数使得当时恒有,那么会推出:

不是常数,所以这是两个线性无关的解,因此所给方程的为:

也容易验证是所给方程的解,但不是线性无关的两个解,所以没法构造。或者说构造出来也不符合

4 非齐次线性微分方程的通解
如果阶非齐次线性微分方程

一个是对应的n阶齐次线性微分方程

的通解,那么此非齐次线性微分方程的为:

这和上一节提到的非常类似,也可以进行类比理解。

举一个例子,比如是二阶非齐次线性方程,上面解释了。又容易验证是所给方程的,因此所给方程的为:

5 常数变易法

假设二阶非齐次线性微分方程的,对应二阶齐次线性微分方程的为:

根据线性微分方程解的结构,所以二阶非齐次线性微分方程的为:

对其进行变形:

所以说在形式上,齐次与非齐次的的区别就是将常数系数变为函数系数,这就是 常数变易法

上述结论推广到阶也是成立的:

6 二阶非齐次微分方程的通解
已知,请求出 根据上面介绍的常数变易法,可知二阶非齐次线性微分方程的形式如下:

下面的任务就是要求出。先求出一阶导:

为简化运算,设(这样在之后的计算中不会出现,若作此假设后算不出来,可考虑别的方法),可得:

在简化的基础上继续求出二阶导:

回代到可得:

整理后可得:

是齐次解,所以上式可化简为:

结合之前的假设,我们可以得到如下的方程组,其中是未知数:

上述方程组可在的帮助下改写为:

根据,那么有唯一解: