高斯消元法

马同学

高斯消元法（Gaussian Elimination）是解的一种方法，它总共包含三个步骤，比如对于下面这样一个线性方程组：

第一步，多次消元：

第二步，多次回代：

最后，方程两侧除以未知数的系数，得到结果：

1 初等行变换和初等行矩阵

完成高斯消元法只需要三种操作，这三种操作是作用在矩阵的行上的，所以又称为初等行变换（Elementary row operations）。在上应用这三种初等行变换一次得到的矩阵称为初等行矩阵（Elementary row matrix），也就是下列表格中最右的矩阵：

2 初等行矩阵的作用

初等行矩阵乘上矩阵，就相当于在矩阵上实施了对应的初等行变换。比如将单位矩阵的二、三行进行对换就得到了该初等操作对应的初等矩阵。再将该初等矩阵乘上矩阵，就相当于将矩阵的二、三行进行了对换：

3 行阶梯形矩阵

高斯消元法第一步，多次消元的结果对应的就是行阶梯形矩阵：

非零矩阵若满足：

满足上述要求的矩阵看上去像是阶梯状：

所以称为行阶梯形矩阵（Row echelon form），非零行最左边的首非零元素称为主元（Pivot element）。

比如开头举的例子，第一步，多次消元的结果对应的就是行阶梯形矩阵，红色数字就是主元：

4 对角阵

高斯消元法的第二步，多次回代的结果对应的有可能是。比如开头举的例子：

5 行最简形矩阵

高斯消元法的第三步，方程两侧除以未知数的系数，所得结果的是行最简矩阵：

若是行阶梯形矩阵，并且还满足:

则称为行最简形矩阵（Reduced row echelon form），行最简矩形阵类似于：

比如开头举的例子，第三步，方程两侧除以未知数的系数的结果对应的就是行最简形矩阵：

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