高斯消元法

是解的一种方法,它总共包含三个步骤,比如对于下面这样一个线性方程组:

第一步,多次消元(下面介绍的顺序不重要,主要是理解思路):

第二步,多次回代:

最后,方程两侧除以未知数的系数,得到结果:

1 初等行变换和初等行矩阵

完成高斯消元法只需要三种操作,这三种操作是作用在矩阵的行上的,所以又称为。在上应用这三种初等行变换一次得到的矩阵称为,也就是下列表格中最右的矩阵:

2 初等行矩阵的作用

初等行矩阵乘上矩阵,就相当于在矩阵上实施了对应的初等行变换。比如将单位矩阵的二、三行进行对换就得到了该初等操作对应的初等矩阵。再将该初等矩阵乘上矩阵,就相当于将矩阵的二、三行进行了对换:

3 行阶梯形矩阵

高斯消元法第一步,多次消元的结果的对应的是行阶梯形矩阵:

非零矩阵若满足:
  • 非零行在零行的上面
  • 某一行的先导元素所在的列位于前一行先导元素的右边
  • 某一先导元素所在列下方元素都是零

满足上述要求的矩阵看上去像是阶梯状:

所以称为,阶梯矩阵中的非零行的先导元素称为(先导元素指的是非零行中最左边的非零元素)。

比如开头举的例子,第一步,多次消元的结果:

4 对角阵

高斯消元法的第二步,多次回代的结果的系数矩阵有可能是。比如开头举的例子,第二步,多次回代的结果:

5 行最简形矩阵

高斯消元法的第三步,方程两侧除以未知数的系数,所得结果的系数矩阵是行最简矩阵:

是行阶梯形矩阵,并且还满足:
  • 非零行的先导元素为1
  • 先导元素所在的列的其它元素均为0

则称,行最简矩形阵类似于:

比如开头举的例子,第三步,方程两侧除以未知数的系数的结果:

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