矩阵乘法行观点

马同学

矩阵乘法行观点

通过高斯消元法引入矩阵乘法的时候，就是对矩阵的行进行操作，所以称为矩阵乘法的行观点：

如果左边是多行矩阵，可以看作多次运用矩阵行观点，并将结果放置在合适的位置：

1 适用场景

假设有行向量 $\boldsymbol{x}$ 和矩阵 $\boldsymbol{A}$ ：

$\boldsymbol{x}=\begin{pmatrix}x_1&x_2&\cdots&x_m\end{pmatrix},\quad \boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\quad&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}$

此时若计算 $\boldsymbol{x}\boldsymbol{A}$ ，很适合用行观点来看待矩阵乘法，把结果看作 $\boldsymbol{A}$ 矩阵的行向量的线性组合：

$\boldsymbol{x}\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}\color{blue}{x_1}&\color{blue}{x_2}&\cdots&\color{blue}{x_m}\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\\ \vdots&\quad&\quad&\vdots\\ a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn} \end{pmatrix}=$ $\color{blue}{x_1}\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1n}\end{pmatrix}+ \color{blue}{x_2}\begin{pmatrix}a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2n}\end{pmatrix}+\cdots+ \color{blue}{x_m}\begin{pmatrix}a_{m1}&a_{m2}&\cdots&a_{mn}\end{pmatrix}$

此时， $\boldsymbol{A}$ 在行向量 $\boldsymbol{x}$ 的右边，所以可说 $\boldsymbol{A}$ 右乘 $\boldsymbol{x}$ 。

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