函数的四要素

代表了集合中的元素和中的元素的一种对应关系:

这种对应关系中,有四个重要概念,或者称为函数的

  • 定义域:集合
  • 映射法则:指明中的元素怎么和中元素关联
  • 值域:通过映射法和定义域决定,表示映射到中的值
  • 到达域:集合

四要素包含了函数的所有细节,所以,函数又可以写作:

值域因为可以由来决定,所以上面的代数式没有表示值域。

1 韦恩图

可以用韦恩图来表示函数的四要素:

2 自然定义域
使函数有意义的一切元素组成的集合称为

比如,对于函数,它在整个实数范围内都有定义,也就是说它的定义域是实数域

并且规定,如果函数不指明定义域,那么就默认为自然定义域。比如下面函数的定义域都指的是自然定义域:

3 单射、满射以及双射

映射法则是的,简称,当且仅当每一个至多有一个与之对应:

单射

非单射

映射法则是的,简称,当且仅当每一个至少有一个与之对应。此时值域与到达域相等:

满射

非满射

若映射既不是单射,又不是满射,则称为非单射非满射;若映射既是单射,又是满射,则称为,或称为

非单射非满射

双射

4 值域

值域由定义域和映射法则共同决定,比如对于

  • 当定义域为的时候,其值域为
  • 当定义域为的时候,其值域为

上述第二种情况的图像如下:

5 到达域

定义到达域的原因如下:

        (1)值域不好求。比如下面这个函数的值域就很好不求:

但容易知道,值域一定在内。此时,可以说该函数的到达域为,这样就通过到达域给出了值域的大致范围。

        (2)值域没法求。比如对于下面两个抽象函数:

很显然函数的值域是没有办法求出的,但可以知道到达域为,那么该函数可以表示为:

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