矩阵函数的单射

当“定义域维度=值域维度”的时候,可以直观地想象,因为相等,此时值域中的向量和定义域中的向量一样多,所以是单射。而“定义域维度 > 值域维度”时,此时值域中的向量比定义域中的向量少,所以矩阵函数非单射:

时,有:

以及:

下面对进行证明,结论同样适用于行向量矩阵函数。这里的证明要接着上一节的证明,也就是的证明来看。

        (1)先证明,“单射定义域维度与值域维度相同”。用反证法,假设单射时,定义域维度与值域维度不同。已知定义域由基张成,所以定义域的维度为,而值域由张成,因为定义域维度与值域维度不同,所以该向量组必定(否则维度也为),不妨假设可以被其它向量线性表示:

移项之后可得:

因为,且为单射,所以必然有:

上式说明向量组线性相关,与该向量组是基的条件相矛盾,所以,“假设单射时,定义域维度与值域维度不同”是错误的。

        (2)再证明,“定义域维度与值域维度相同单射”。首先假设在定义域中的两个向量:

那么有:

因为定义域维度与值域维度相同,因此向量组线性无关,根据的定义可得:

所以,是单射。

        (3)因为,所以除了“定义域维度=值域维度”,剩下的情况就是“定义域维度 > 值域维度”。因为已经证明了单射的充要条件:

所以“定义域维度 > 值域维度”自然就是非单射。

通过下面表格,可以比较下单射、非单射的区别:

1 单射的几何意义

根据矩阵函数是单射的充要条件,可以得到单射的几何意义。比如矩阵,如果定义域为,那么值域可以为

值域也可以为中的二维平面,总之定义域和值域的维度要一样大:

2 满秩与单射
矩阵函数是单射的充要条件,可以通过来改写:

        (1)先证明的情况。假设,那么在下,为:

用韦恩图来表示就是:

根据,所以当扩大到和一样大时,就是

此时,为:

可见,时有,又有,因此:

所以得到结论:

        (2)的证明与上面类似,就不再赘述。

        (3)上述证明都是以为前提的,因为自然定义域是函数最大的定义域,所以结论对所有定义域都成立。

3 非单射

时,中的任意向量有且只有一个中的向量与之对应。而非单射时,值域中的每一个向量都有无数个定义域中的向量与之对应:

单射

非单射

        (1)根据定义可知,当矩阵函数为单射时,值域中的任意向量有且只有一个定义域中的向量与之对应。

        (2)矩阵函数为非单射时,下面以为例进行证明。此时必定存在值域中的向量对应多个定义域中的向量,不妨假设值域中的向量与定义域中两个不相等的相对应,即有:

因为矩阵函数是,所以可推出:

再假设值域中另外一个向量与定义域中的,即,那么可以推出:

也就是说也和相对应,所以得证。

矩阵函数非单射的几何意义是,值域和定义域相比,在维度上缩小了。比如输入为矩形,输出为线段,此时就是非单射:

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