（1）先证明，“单射定义域维度与值域维度相同”。用反证法，假设单射时，定义域维度与值域维度不同。已知定义域由基张成，所以定义域的维度为，而值域由张成，因为定义域维度与值域维度不同，所以该向量组必定（否则维度也为），不妨假设可以被其它向量线性表示：

移项之后可得：

因为，且为单射，所以必然有：

上式说明向量组线性相关，与该向量组是基的条件相矛盾，所以，“假设单射时，定义域维度与值域维度不同”是错误的。

        （2）再证明，“定义域维度与值域维度相同单射”。首先假设在定义域中的两个向量：

那么有：

因为定义域维度与值域维度相同，因此向量组线性无关，根据的定义可得：

所以，是单射。

        （3）因为，所以除了“定义域维度=值域维度”，剩下的情况就是“定义域维度 > 值域维度”。因为已经证明了单射的充要条件：

所以“定义域维度 > 值域维度”自然就是非单射。

用韦恩图来表示就是：

根据，所以当扩大到和一样大时，就是：

此时，的为：

可见，时有，又有为的，因此：

所以得到结论：

        （2）的证明与上面类似，就不再赘述。

        （3）上述证明都是以为前提的，因为自然定义域是函数最大的定义域，所以结论对所有定义域都成立。

        （2）矩阵函数为非单射时，下面以为例进行证明。此时必定存在值域中的向量对应多个定义域中的向量，不妨假设值域中的向量与定义域中两个不相等的、相对应，即有：

因为矩阵函数是，所以可推出：

再假设值域中另外一个向量与定义域中的，即，那么可以推出：

也就是说也和相对应，所以得证。