当“定义域维度=值域维度”的时候,可以直观地想象,因为相等,此时值域中的向量和定义域中的向量一样多,所以
以及:
(1)先证明,“单射
移项之后可得:
因为
上式说明向量组
(2)再证明,“定义域维度与值域维度相同
那么有:
因为定义域维度与值域维度相同,因此向量组
所以,
(3)因为
所以“定义域维度 > 值域维度”自然就是非单射。
通过下面表格,可以比较下单射、非单射的区别:
根据矩阵函数是单射的充要条件,可以得到单射的几何意义。比如矩阵
值域也可以为
用韦恩图来表示就是:
根据
此时,
可见,
所以得到结论:
(2)
(3)上述证明都是以
当
单射
非单射
(2)矩阵函数
因为矩阵函数是
再假设值域中另外一个向量
也就是说
矩阵函数非单射的几何意义是,值域和定义域相比,在维度上缩小了。比如输入为矩形,输出为线段,此时就是非单射: