等价向量组

设有两个,若组中的每个向量都能由向量组,则称向量组能由向量组线性表示。

若向量组与向量组能相互线性表示,则称这两个向量组,也可以说

1 几何意义
下图中有4个向量:

容易算出向量组和向量组可以相互线性表示,因此,这两个向量组是等价向量组。

通过数格子可以知道这4个向量为:

容易算出向量组可以由向量组线性表示:

反过来,向量组也可以由向量组线性表示:

也就是说这两个向量组可以相互线性表示,因此,这两个向量组是等价向量组。

2 美术意义

除了三原色外,现实中还常常使用一种印刷三原色

这两种三原色可以互相调出。也就是说,可以由调出,反之亦然,因此这两种三原色组成的向量组是等价向量组:

3 相等的张成空间

是相等的:

假设有两个

则:

(1)先证“

首先:

因为等价,意味着两者可以相互线性表示。中每一个元素可以由线性表示,反之亦然。

那么,每一个都可以由线性表示出来,所以可得:

但是不知道是什么实数,如果为任意实数则:

否则:

即不知道是什么实数的情况下有:

同样可以得到:

进而推出:

(2)再证“

是所有的A的线性组合,是所有的的线性组合,两者相等,说明:

所以两者可以相互线性表示,即等价。

用颜色来解释上面的定理就是,既然是等价向量组,那么可以调出所有的颜色,所以也可以调出来所有的颜色:

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