矩阵函数的满射

马同学

矩阵函数的满射

$\begin{array}{c|c|c|c} \hline \quad矩阵函数\quad&\quad 满射的充要条件 \quad\\\hline\\ \quad \boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y} \quad&\quad 行满秩 \iff 满射 \quad\\ \quad \boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}=\boldsymbol{y}^\mathrm{T} \quad&\quad 列满秩 \iff 满射\quad\\ \\ \hline \end{array}$

比如说 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&0&1\\2&2&-2\end{pmatrix}$ 是行满秩的，此时 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ 的自然定义域为 $\mathbb{R}^3$ ，到达域为 $\mathbb{R}^2$ ，值域也为 $\mathbb{R}^2$ ，到达域=值域，符合满射的定义，因此 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ 是满射：

而 $\boldsymbol{A}=\begin{pmatrix}-1&2\\0&2\\1&-2\end{pmatrix}$ 不是行满秩的，此时 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ 的自然定义域为 $\mathbb{R}^2$ ，到达域为 $\mathbb{R}^3$ ，值域为 $\mathbb{R}^3$ 中的平面， $到达域\ne值域$ ，因此 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{y}$ 是非满射：