逆矩阵的定义

只有函数,有反函数

同样的,只有才有反函数。根据可知:
时,对应的,所以此时该矩阵有反函数,也称为

比如,下面是某,在它的作用下矩形变为了平行四边形:

而在它的反函数,或者说逆矩阵的作用下,图形又变回了原来的样子,这就是逆矩阵的几何意义:

之前学习过,在它的作用下,图形不会发生变化:

因此,的复合的效果是相同的,即有:

这实际上是逆矩阵的另外一种定义方式:

若存在一个,与另外一个有:

其中,这时称也可以记作。并且逆矩阵是唯一的。

        (1)这种定义方式和之前的定义方式是完全等价的。根据的性质:

因为,所以必须都是,等式才可能成立。因此和上一节的定义方式完全等价。

(2)下面来证明逆矩阵是唯一的。假设有使得:

那么有:

所以逆矩阵,是唯一的。

1 初等变换求逆矩阵

因为,所以如果可以通过,将矩阵变换成,它的就是的乘积:

        (1)首先要是才是可逆的,又也是,这样根据的性质:

必须也是,才可能使得下面这个等式成立:

        (2)因为。所以如果有,那么必然:

2 高斯若尔当法求逆矩阵

初等变换求逆矩阵需要分成两步:

  • 先通过一系列的,将矩阵变换成

  • 然后将是相乘得到

有一种方法可以将这两步合在一起进行:

首先将矩阵合成一个矩阵,然后对新矩阵进行。这样就可以在得到的同时,得到

这称为

假设,那么实际上是将之前的两步同时完成了:

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