矩阵的秩

对于任意,始终有等于,所以统称为,即:

矩阵的秩记作,有时也简写为

下面高能预警,这可能是本课程中最复杂的一个证明。

        (1)先说明下证明的思路。整个思路就是分别证明,然后就得到了,下面都假设有的矩阵

其中证明的步骤是:

  • 第一步,分解矩阵:

    其中,的列秩。

  • 第二步,证明的行秩的列秩
  • 第三步,证明的行秩的行秩

进而得出结论:

下面就来证明证明,就如上面所说,需要分为三步。

        (2.1)先证明,可以做如下分解,其中

因为的列秩,所以可设如下(其中每个都是维的):

用此基来构建一个矩阵:

根据可知,的每一列都是的列向量的线性组合,所以可得:

下面举一个分解的例子,比如下面的矩阵

其列秩为2,尝试将其分解为:

因为的列秩为2,为了计算简单,选择作为矩阵

矩阵的第一列为的列向量组合:

矩阵的第二列为:

矩阵的第三列为:

所以:

        (2.2)再证明的行秩的列秩。因为的矩阵,行数为,所以有:

的列秩,所以:

        (2.3)然后证明的行秩的行秩。对于而言,根据,可得:

也就是将看作一个整体,此时在下的为:

对应的韦恩图为:

也可以看作复合函数:

对于矩阵函数而言,在下的为:

根据,值域是到达域的子集,即:

然后值域又成了下一个函数的定义域,比对的韦恩图可知值域为,所以此时为:

刚才说了,,定义域缩小值域肯定也会缩小(至少不会扩大),,所以对应的值域也是自然定义域下的值域的子集,最终可以总结为下面这张韦恩图:

因为,结合上面的韦恩图可得:

        (2.4)综合上(2.3)和(2.4)的结论,即:

        (3)只要把转置为,则

        (4)综上可得:

即:

根据可知,在

因为行秩=列秩=秩,所以秩就是,在下,的

1 秩的几何意义

不论矩阵的维度是多少(当然要保证),只要它的秩,也就是,那么值域的维度都是2:

2 秩的直观理解

根据秩的几何意义可知,假设输入为矩形时,那么根据的不同,输出可能是矩形、线段或者点:

很显然越大,输出越大:

据此,可以将看作一个筛子,就是筛眼的大小。筛眼()越大,漏下去(输出)的也就越大:

3 满秩矩阵
如果某个,既是,又是,那么就称该矩阵为,或者简称为。满秩矩阵必为 假设的矩阵,且是满秩矩阵。因为列满秩,那么列秩=;又因为行满秩,那么行秩=;然后因为行秩=列秩,所以必然,所以满秩矩阵必为方阵。

比如下面这个,容易验证既是列满秩,也是行满秩,所以是满秩矩阵:

可证明所有都是满秩矩阵,比如下面的这个完成是满秩矩阵:

根据的定义,它们都是在上应用得到的。

        (1)首先假设有,它的其实就是

因此是的,因此是满秩矩阵。下面只需要证明后得到的依然,就可以得出是满秩的结论。

        (2)。不妨假设是第二行的倍加到第一行上,因此得到的向量组为:

假设该向量组,那么一定有不全为零的实数使得:

不妨假设,移项整理后可得:

也就是说可由剩下的行向量,这与相矛盾,因此也是的,因此后得到的依然是满秩矩阵。

        (3)同样的道理,得到的也是满秩矩阵。因此,所有都是满秩矩阵。

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