初等行变换求秩

任何非零总可以经过有限次把它变换为。因为可以通过来实现,所以上述定理也可以表示为:

其中都为。上述定义还有一种常用的表示方式,存在,使得:

通过变换得到的不具有唯一性,但是唯一的。

下面是证明的思路(具体证明略):

        (1)假如的第一行第一列为非零元素,那么可以通过将除自己之外的一列都变为0。

        (2)假如的第一行第一列为零元素,那么通过看能不能把某第一列不为零元素的行换到第一行,然后执行(1)中的操作。

        (3)如果无法使得第一行第一列为非零元素,这说明第一列全为0,那么就跳过该列,看第一行第二列是否可以进行(1)(2)的操作。

        (4)假设除了第一行外,其余行的第一列都变为了零元素,那么就看第二行第二列,重复(1)(2)(3)的操作,最终可以得到

        (5)在的基础上,对每一列进行,使得都为1,这样就得到了

        (6)令,根据可知,,所以有:

        (7)用非零实数乘上得到的依然是,所以说不唯一。

        (8)的唯一性证明较复杂,这里略过。可以将它理解为所有的终点,也就是说不管怎么选择的顺序,最后都可以得到相同的

容易知道,可以看作特殊的)的非零行组成的的,所以就是非零行的个数,比如:

秩 = 3

秩 = 2

因此,要求,首先通过有限次变换为

因为,也就是说都是,根据有:

也就是说,就是对应的

1 初等列变换

在列上进行如下表中的三种变换,称为。在上应用这三种初等列变换一次得到的矩阵称为,也就是下列表格中最右的矩阵:

初等列矩阵乘上矩阵,就相当于在矩阵上实施了对应的初等列变换。比如将单位矩阵的一、二列进行对换就得到了该初等列操作对应的初等列矩阵。再将该初等列矩阵乘上矩阵,就相当于将矩阵的一、二列进行了对换:

2 标准形

的基础上,再执行若干次初等列变换,就可以得到形式更简单的矩阵,比如:

该矩阵的特点是左上角是,这种矩阵被称为

上述操作可以总结为:

任何经过若干次初等列变换可以变换为标准形矩阵。上述定义可以用列初等矩阵表示为:

其中都为列初等矩阵。上述定义还有一种常用的表示方式,存在,使得:

并且标准形矩阵是唯一的。

3 行阶梯形、行最简形和标准形的总结

综上,对于任意矩阵,存在,使得:

并且根据可知,矩阵和它的以及相等,即:

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