无穷大

时的无穷大 设函数上有定义。如果,有:

那么就称函数时的 无穷大 (Infinity)。可记作:

时的正无穷大 设函数上有定义。如果,有:

那么就称函数时的 正无穷大 (Positive infinity)。可记作:

时的负无穷大 设函数上有定义。如果,有:

那么就称函数时的 负无穷大 (Negative infinity)。可记作:

上述三种无穷大的定义非常相似,区别在于:

下面以某函数为例来解释下时的无穷大。

1 无穷大定义的解释

无穷大定义说的其实很简单,在时,如果函数绝对值比任意正数都大,那么就是无穷大。

比如下面的函数,随便给出某正数,以 0 为中心建立作一个区间,也就是下图中的绿色区域。可找到,使得在时,函数的图像都在绿色区域外,也就是有,让我们用红色来表示:

并且不断增大,总,使得在时,函数的图像都在绿色区域外,也就是有,那么该函数就是的无穷大:

上面所说的用数学符号来表示即为,时有。根据本节的定义,所以有

2 无穷大的几种情况

仔细观察上面举的例子,会发现,这是的一种情况:

时的其实也是的一种情况:

时的也是的一种情况:

3 极限不存在

这里需要强调一点的是,虽然的无穷大记作,但其不趋于任何常数,所以时的极限存在:

4 各种极限过程的无穷大

除了这里的,还可以定义如下的无穷大:

只需要将对应的极限定义中的“”修改为“”即可,这里就不再赘述了。

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