配方法

用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点。如果不限于用正交变换,那么还可以有多种方法,比如拉格朗日配方法。

1 第一种情况

若二次型含有的平方项,则先把含有的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同样进行,直到都配成平方项为止。

化二次型:

成标准型,并求所用的变换矩阵。

继续配方可得:

令:

化为标准型:

从上面可以得到:

即:

所以变换矩阵为:

验证一下,其行列式:

因此为过渡矩阵。

二次型对应的矩阵为:

有:

2 第二种情况

若二次型中不含有平方项,但是,则先作可逆线性变换

化二次项为含有平方项的二次型,然后再按第一种方法配方。

化二次型:

成规范型,并求所用的变换矩阵。

中不含平方项。但是含有乘积项,故令:

这里变换矩阵为:

其中:

这里必须保证是可逆的。

代入可得:

再配方,得:

令:

就把化为规范型:

从上面的式子可以得到:

即变换矩阵为:

其中:

所以:

即:

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