用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点。如果不限于用正交变换,那么还可以有多种方法,比如拉格朗日配方法。
若二次型含有
化二次型:
成标准型,并求所用的变换矩阵。
继续配方可得:
令:
把
从上面可以得到:
即:
所以变换矩阵为:
验证一下,其行列式:
因此为过渡矩阵。
二次型对应的矩阵为:
有:
若二次型中不含有平方项,但是
化二次项为含有平方项的二次型,然后再按第一种方法配方。
化二次型:
成规范型,并求所用的变换矩阵。
在
这里变换矩阵为:
其中:
这里必须保证
代入可得:
再配方,得:
令:
就把
从上面的式子可以得到:
即变换矩阵为:
其中:
所以:
即: