如果函数在开区间上连续，在左端点右连续，在右端点左连续，那么函数就是在闭区间上连续的。
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值。
举例说明一下上述的定义和定理。比如下图左侧中的函数就是在闭区间上连续的，可观察到其在上有界、有最值，点为其最小值点，点为其最大值点。而下图右侧中的函数定义在开区间上，可观察到其在上有界，但因无法取到端点，所以没有最大值和最小值。
设函数在闭区间上连续，且与异号（即），则在开区间内至少有一点使得。
举例说明一下上述定理。比如下图中的函数在闭区间上连续，其两个端点位于轴的异侧，那么该函数曲线必然与轴至少有一个交点，也就是下图中的。
证明方程在开区间内至少有一个根。
函数在闭区间上连续，且、，所以根据零点定理有，即，如下图所示。这说明在开区间内是方程的根。
设函数在闭区间上连续，且在此区间的端点取不同的函数值，即：
则对于与之间的任意一个数，在开区间内至少有一点使得。
上述定理说的是，对于闭区间上的连续函数，只要位于、之间，那么必然有，如下图所示。
