线性方程组的解集

就是满足的所有的集合,如果无解的话那么解集就是空集

1 齐次、非齐次线性方程组
有两种:
  • 时,即时,称为
  • 时,称为
下面通过类比来解释下什么是“齐次”、“非齐次”。首先,下面两个多项式各项的次数,前一个都为2,后一个都为3,都是齐次多项式:

同样的,对于下面这个多项式,可以认为的次数都为1,所以也是齐次多项式:

而如下的多项式,的次数为1、0,所以是非齐次多项式:

2 零空间
齐次线性方程组的解集也称为,记为,这是因为:
  • 是齐次线性方程组的解集
  • 一定是
首先,必然是齐次线性方程组的一个解,即一定有:

其次假设是齐次线性方程组的解,因为,那么有:

也是齐次线性方程组的解,所以该齐次线性方程组的解集一定是

比如齐次线性方程组的解集,即零空间为,这是中的一条直线:

3 非齐次线性方程的解
对于非齐次线性方程组,已知是该非齐次线性方程组的一个特定的解,简称为。它的齐次线性方程组的解集为零空间,那么非齐次线性方程组的解集为:

        (1)因为,那么有:

所以是非齐次线性方程组的解。

        (2)假设有使得成立,根据有:

也就是说属于都是零空间,所以这里加减号并不影响),因此是非齐次线性方程组的所有解,即是解集。

比如非齐次线性方程组的一个特解是,那么就是该非齐次线性方程组的解集。该解集从几何上看,就是过