行列式的运算性质

表格如果看不明白的,可以看下面的详细解释。

1 行列式的数乘
乘以倍,等于某行(列)乘以,该性质也可以称为行列式的数乘

可以通过来证明:

假设有以及它的为:

那么“行列式的数乘”说的就是,不论平行四边形的哪一边的长度增加倍,平行四边形的都会增加倍:

对于,反复运用“行列式的数乘”可得:

2 行(列)互换
中的行(列)互换后,正负号发生改变:

假设:

那么:

根据“”可知,上面发生了对换,所以排列的奇偶性发生改变,所以:

最终得到结论:

假设有以及它的为:

那么“行(列)互换”导致确定的发生了改变,所以正负号会发生改变。还是用幅图来说明:

3 行列式的倍加

将一行(列)的倍加进另一行(列)里,的值不变,该性质也可以称为行列式的倍加

假设:

根据以及的推论可知:

“行列式的倍加”作用在的结果如下,根据,该等式可以解读为左右两边的平行四边形相等:

这两个平行四边形同底等高,很显然是相等的:

4 行列式的加法

中,某一行(列)的每个元素是两数之和,则此行列式可拆分为两个相加的行列式,该性质也可以称为行列式的加法::

设:

根据有:

“行列式的加法”作用在的结果如下,根据,该等式可以解读为左边的平行四边形是右边两个平行四边形之和:

在一条直线上的时候一下就可以看出来:

这样就不太容易看出来,不过可以脑补上面的三角形可以搬下来填充下面的三角形:

5 行列式的乘法
对于,有:

该性质又称为行列式的乘法

,分为两种情况来讨论。

        (1) 假设。此时有结合上的性质,可得:

所以:

        (2)假设。根据可知,它的逆矩阵可以通过变为都是):

有一个特点:

分情况看一下就知道了:

  • 表示,那么根据,有:

  • 表示行乘上,即为,那么根据,有:

  • 表示行乘上加到行上,即为,那么根据,有:

所以:

进而有:

的角度来理解“行列式的乘法”,对于复合函数,会依次进行伸缩:

所以复合函数的伸缩比例,是两者的乘积:

马上可以得到一个推论,假设,那么:

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