伴随矩阵与逆矩阵

马同学

由的所构成的矩阵，称为的代数余子式矩阵：

其称为的伴随矩阵，记作：

根据可知，若，则矩阵。可证明此时有：

设，记，根据，可知是的行和的列的结果，其中的行为，的列为，所以：

根据可知：

所以，结合上可得：

因为，所以：

根据可得：

上述定理看上去有点复杂，尤其其中出现的伴随矩阵，下面就再给出一种视角。

之前学习过，可以通过一系列来求出，比如。所以对于某矩阵的，如果可以像下面一样，通过矩阵（代表了一系列的）将之变为，再通过矩阵（也代表了一系列的）将之变为，那么就有。

因为之前学习了：

所以上面定理中介绍的伴随矩阵就可以将矩阵变为，最终变为：

1 伴随矩阵的秩

设为，则：

（1）证明。当时，根据有：

又根据，有：

根据可知：

再加上也是，所以：

（2）证明。当时，根据有：

又根据，有：

再根据有：

所以：

又因为，根据的关系，必然存在非零的阶，所以：

（3）证明。因为，根据的关系，的阶全为零；又也就是阶，所以：

（4）因为只有为、为、小于这三种情况，而（1）（2）（3）将三种情况都证明了，所以实际上证明的是充分必要条件。

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