伴随矩阵与逆矩阵

所构成的矩阵,称为代数余子式矩阵

称为伴随矩阵,记作

根据可知,若,则矩阵可逆。可证明此时有:

,记,根据,可知行和的结果,其中行为列为,所以:

根据可知:

所以,结合上可得:

因为,所以:

根据可得:

1 伴随矩阵的秩
,则:

        (1)证明。当时,根据有:

又根据,有:

根据可知:

再加上也是,所以:

(2)证明。当时,根据有:

又根据,有:

再根据有:

所以:

又因为,根据的关系,必然存在非零的,所以:

        (3)证明。因为,根据的关系,全为零;又也就是,所以:

        (4)因为只有为、为、小于这三种情况,而(1)(2)(3)将三种情况都证明了,所以实际上证明的是充分必要条件。

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马同学高等数学
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