极限与无穷小

马同学

极限存在的充要条件为：

其中为自变量的同一变化过程的，即有。

这里需要说明下，本定理中提到了“自变量的同一变化过程”，意思是与都取同一种极限。比如，那么；再比如，那么。并且本定理对于为的情况也适用。下面以为例来证明下。

（1）证明充分性。已知，其中为常数，。根据条件可推出：

因为，根据可推出，，，，有，则：

根据，上面的式子证明了。

（2）证明必要性。已知，根据可推出，，，，有：

设（即）则：

1 几何意义

假设某的为，其中某点与的距离为。根据之前的学习可知，该距离随着的增大会无限趋近于 0，也就是说为时的：

所以当有时，与之间相差一个时的。假设该无穷小为，那么有（根据上面的说明，可知为时的。根据其几何意义容易想象，去掉绝对值后的也是时的。假设，那么有：

），这就是本定理的几何意义。

2 代数意义

本定理也有重大的代数意义，注意该定理的式子两侧，一侧没有极限符号，一侧有极限符号：

也就是说该定理可以帮助我们脱去极限符号，方便运算，这在后面的证明、计算题中会看到。

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