初等函数的连续性

马同学

1 和、差、积、商的连续性

设函数和在点连续，则它们的和（差）、积以及商（）都在点连续。

比如，之前证明过、是连续函数，因，根据上述定理描述的和、差、积、商的连续性，故当时，即时，是连续函数。或说在自然定义域上是连续函数，如下图所示。

在自然定义域上是连续函数

2 复合函数的连续性

设函数由函数和函数复合而成，在有定义，若，函数在点连续，则：

还可以写作（也就是符号可以穿透连续函数）。

请求出。可以看作和复合而成，因为：

而在点连续，因此根据上述定理描述的复合函数的连续性，所以有：

函数的图像如下图所示，是该函数的间断点（由于作图软件的原因，振荡间断点画的有点凌乱）。

是函数的间断点

3 初等函数的连续性

一切初等函数在其定义区间内都是连续的，其中定义区间指的是包含在定义域内的区间。

上述定理可通过“和、差、积、商的连续性”以及“复合函数的连续性”推出，这里不再赘述。

请求出。是初等函数，是其定义区间的右端点，根据初等函数的连续性，所以在点左连续，如下图所示。

在点左连续

从而有：

请求出。是初等函数，但其在点没有定义，所以不能套用初等函数的连续性。具体的求解过程如下：

函数是连续的吗？不是。该函数的定义域为，这是离散的，所以该函数不是连续的。

有些同学可能认为根据初等函数的连续性，所以该函数应该是连续的。但注意该函数的定义域是离散的，不存在所谓的定义区间，所以不适用该定理。

练习

设函数在点连续，在点间断，那么两者的和、差、积、商：

在点间断

在点连续

不一定

（1）两者的和、差在点。设在点，根据本节的定理可知，在点，与条件矛盾，所以在点。同理可证在点。

（2）两者的积、商就不一定了。比如：

很显然，两者的乘积是，其它的情况可以自己构造。

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