海涅定理

海涅定理对于各种极限都成立,这里只给出的版本:

对函数定义域内的任意,且满足,有:

(1)必要性。已知,根据时有。又因为,根据, 时有,结合上,故时有:

从而时有,即

        (2)充分性。已知函数定义域内的任意,满足。用反证法,假设此时有

因为,所以根据,给定使得使得使得,以此类推得到

组成的满足,且始终有,所以当时,的极限不为,即,与条件矛盾,因此

该定理看上去很复杂,结合几何来理解下。

1 必要性

海涅定理的必要性说的是,如果已知,那么:

  • 选择某,满足,也就是下面动图中左侧坐标系中横轴上蓝点
  • 数列对应的函数值可以构成,有

或者像下面这样的,也有

2 充分性

而海涅定理的充分性说的是,如果像上面这样抽取点组成的所有的极限都是,那么

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