我们已经学习了，也就是一重积分，其几何意义可以理解为，如下图左侧所示。以及，其几何意义可以理解为，如下图右侧所示。
本课来学习下三重积分，先来其看看定义。
设是空间有界上的有界函数，将任意分成个小：
其中表示第个小闭区域，也表示它的体积。在每个内任取一点，作乘积（），并作和。如果当各小闭区域直径中的最大值时，这和的极限总是存在，且与的分法和点的取法无关，那么称此极限为函数在上的 三重积分 （Triple integral），记作，即：
其中称为 被积函数 ，称为 体积元素 ，称为 积分区域 。
根据本节最上面介绍的，一重积分、二重积分可通过面积、体积来理解，而这里定义的三重积分或许可借助质量来理解。设有一块密度不均匀的铁块，如下图左侧所示，该铁块点处的密度为，且是一个连续函数。为计算该铁块的质量，我们将其切成个小铁块，如下图右侧所示。
用表示其中第个小铁块，也表示该小铁块的体积。因为密度函数是连续的，可认为各点处的密度都差不多，所以随机取上一点，把该点的密度作为的密度，那么的质量约等于：
从而整个铁块的质量约等于：
当尽可能去切分整个铁块从而使得各小铁块都越来越小时，即时，整个铁块的质量就是如下的三重积分：
上面划分出来的小铁块都是小长方体，设第个小铁块的边长分别为、和，如下图所示。
则的体积为：
所以上述整个铁块的质量约等于：
从而整个铁块的质量的计算式可改写为：
所以在划分为小长方体时，三重积分也常表示如下，因为这种划分是在直角坐标系中进行的，所以其中的称为 直角坐标系中的体积元素 ：
如果将一重、二重、三重积分的积分区域都表示为，会发现它们的定义式非常接近，区别在于分别使用了长度元素、面积元素以及体积元素：
