二次型的正交标准化

任给二次型,总有正交变换,使化为标准型:

其中的矩阵的特征值。

求一个正交变换将

化为标准形

为单位阵

  • 求二次型矩阵

    根据可知,二次型所对应的二次型矩阵为

  • 求特征值

    根据,即求的根:

    的特征值为

  • 的特征向量

    时,解方程,由

    得单位特征向量

    时,解方程,由

    得单位特征向量

    时,解方程,由

    得单位特征向量

  • 求正交矩阵

    因矩阵为对称矩阵,根据对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交可知,正交矩阵为

    对应的标准形为

关注马同学
马同学高等数学
微信公众号:matongxue314