该定理有一个重大的应用，即通过证明数列单调且有界，如下图所示，从而得出该数列的极限存在，其极限值通常用来表示，即。也称为 欧拉数 。

上述数列及其极限有什么特殊之处呢？下面来看一个例子。假设“很有钱”银行的年利息，也就是说你现在存 1 元，一年后能拿到 2 元，其中 1 元是本金，1 元是利息，如下图所示。

可以这么计算一年后拿回来的钱：

如果银行半年结一次息，那么半年后也就是6个月后，会得到 0.5 元的利息，然后利息又存入银行，最后拿回 2.25 元，如下图所示。

可以这么计算一年后拿回来的钱：

如果银行 4 个月结一次息，最后拿回差不多 2.37 元，如下图所示。

可以这么计算一年后拿回来的钱：

以此类推，假如银行年就结息一次，那么最终拿到手的本息为：

当然，这种复利是有极限的，就是欧拉数 e ：

上述复利在大自然中也屡见不鲜。比如细胞分裂，一个变两个、两个变四个，也是一种复利增长，如下面动图所示，所以数列及其极限有着重大的现实意义。