概率的性质

马同学

1 有限可加性

若、、、、、两两之间，则有：

令，则有。由于这些事件两两之间，根据，以及，可得：

2 概率的单调性

设、为两个，若，则有：

由于，结合下图，可知，以及。

根据有限可加性，可得：

又由，可得：

上述定理之所以称为“概率的单调性”，是因为它指出了：当一个事件包含于另一个事件（）时，小事件的概率必然小于等于大事件的概率（），如下图左侧所示。这就像一样，输入值越小，输出值也越小，如下图右侧所示。

时，有

3 逆事件的概率

对于任一，有：

根据，可知：

根据有限可加性，结合上，可得：

4 概率的容斥定理

对于任意两个、，有：

有下图所示的两种情况，均满足，且。

根据有限可加性，可得：

由于，根据概率的单调性有，代入上式可得：

上述定理之所以被称为“容斥定理”，是因为计算过程包含两个关键步骤：先“包容”，即将、的可能性都计入（）；再“排斥”，即将重复计算的交集部分去除，即：

该定理不止适用于两个事件，也能推广到三个、和的情况。为了帮助理解这种推广，这里给出了三个事件关系的一种情况，如下图所示。

结合上图，可以直观地得到并理解容斥定理的推广：

进而可以推广到个、、、的情况，其中各项系数遵循"排斥-包容"的交替模式：

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