对坐标的曲线积分的计算法

马同学

设与在有向曲线弧上有定义且，的参数方程为：

当参数单调地由变到时，点从的起点沿运动到终点，若与在上具有一阶连续导数，且，则存在，且：

在上取一列点：

它们对应于一列的参数值：

依据，有：

由于，令，根据，所以存在使得：

又设点对应于参数值，即、，这里，所以：

由于函数在区间上连续，所以可以把上式的换成，从而：

上式等号的右侧就是函数在区间上的，因为该函数在区间上连续，所以该定积分是存在的，因此：

同理可证：

把以上两式相加，得：

上述定理可这么来记忆，将中所有的、替换为、即可：

如果曲线弧是由函数给出的，可将之视为特殊的参数方程，从变到，然后套用上述定理即可：

上述定理还可推广到空间曲线对应参数方程的情况，从变到，此时有：

关于上述定理还可以说的就是，其中的“、在具有一阶连续导数”表明是一条；以及该定理没有要求“”，这一点和不同。

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