对坐标的曲线积分的例一

计算,其中为抛物线上从点到点的一段弧。 为了帮助理解先讨论下本题的物理意义,已知为抛物线上从点到点的一段弧,如下图所示,想象其中还存在水平力场。某粒子在该力场中从点出发沿运动到点,其在点的受力为,这整个运动过程的做功就是(本题只有水平力,所以也只在水平方向上,或者说只在坐标方向上有做功)

有向曲线弧点,及其受力

        (1)解法一。将分成这两段有向曲线弧,如下图所示。易知有向曲线弧对应函数变到;而有向曲线弧对应函数变到

分成对应函数对应函数

根据,所以粒子从点沿运动到点的做功为:

同样的,粒子从点沿运动到点的做功为:

根据,所以:

        (2)解法二。也可认为对应函数变到。根据,所以有:

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