傅立叶级数的例题

是周期为的函数,其表达式为:

因为该周期函数的图像类似于矩形,如下图所示,所以也称为 矩形波 。请求出该函数的

矩形波函数的图像

(1)收敛定理的应用。题目中给出的函数满足,所以收敛,并且点是函数,在这些点处收敛于:

其余点是,在这些点处收敛于

(2)计算。根据,可得:

所以有:

        (3)综上,所以,该级数在点处收敛于,在其余点处收敛于,即:

为了更好的理解这一点,让我们作出该级数的,如下图所示。可以看到随着增大,越来越趋近于周期函数

随着的增大,部分和越来越接近周期函数

但细心的同学会发现,在上图的处,也就是在点处对函数的逼近并不好,这是因为在这些点处当时有。作出的图像,如下图所示,更容易看出这一点。注意该图像和本节一开始给出的函数的图像有所不同,主要是空心点、实心点的区别。

和函数的图像,与有所区别

由于的存在,上述例题中的函数是无法在整个定义域上展开成的,所以说的适用性更广泛。

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