(1)收敛定理的应用。题目中给出的函数满足,所以的收敛,并且点是函数的,在这些点处的收敛于:
其余点是的,在这些点处的收敛于。
(2)计算的。根据,可得:
所以有:
(3)综上,所以的为,该级数在点处收敛于,在其余点处收敛于,即:
为了更好的理解这一点,让我们作出该级数的,如下图所示。可以看到随着增大,越来越趋近于周期函数。
但细心的同学会发现,在上图的处,也就是在点处对函数的逼近并不好,这是因为在这些点处当时有。作出的的图像,如下图所示,更容易看出这一点。注意该图像和本节一开始给出的函数的图像有所不同,主要是空心点、实心点的区别。