空间直线的方程

1 空间直线的一般方程
如下代数式为某 空间直线的一般方程 (General equation of a line in 3D space):

这里通过图像来解释下上述定理。根据可知,是两个空间平面,若两者相交,则必然交于某空间直线,如下图所示。

因为直线是这两个平面的交线,所以下述方程组的解就是直线,这也就是该直线的一般方程:

1.1 直线的一般方程有无限多个

相交为直线的两个平面有无限组,比如下图所示。

此时直线的一般方程为:

所以空间直线的一般方程并不唯一,有无限多个。

1.2 直线的方向向量

根据上面的分析可知,直线可视作两个平面的交线,所以直线同时于这两个平面的,所以也所在平面,如下图所示。

所以,为直线的一个,即,如下图所示。

2 空间直线的点向式方程
已知某直线上的一点及该直线的一个,可得出该 空间直线的点向式方程 (Point-direction form equation of a line in 3D space):

这里解释下上述定理的推导过程,在下图中:

  • 有某直线及其上的某点和任意点,这两点组成了直线的一个
  • 有直线的一个

根据可知,结合上,可知:

如果,上式常改写为:

而如果,则有:

其余情况以此类推。

3 空间直线的参数方程
已知某直线上经过点为该直线的一个,可得出该 空间直线的参数方程 (parametric equation of a line in 3D space):

上述定理通过移项后即可得到:

但直线的参数方程有自己的几何意义,本节就来介绍一下。以,可作出下图中过原点的直线。

将该过原点的直线平移,使其变为过点,就得到了要求的直线,如下图所示。

上述过程可通过代数来描述:

  • ,以且过原点的直线可以表示为
  • 将过原点的直线平移为过点的直线,就是将该过原点的直线加上

所以要求的直线可通过集合表示如下:

其中表示直线上的任意点,所以。结合上定理中的条件,可得:

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