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马同学

向量积

两个向量 \mathbf {a}和 \mathbf {b}的叉积仅在三维空间中有定义，写作

\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b}

叉积 \displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} 是与 \displaystyle \mathbf {a} 和 \displaystyle \mathbf {b} 都垂直的向量 \displaystyle \mathbf {c} 。其方向由右手定则决定，模长等于以两个向量为边的平行四边形的面积

\mathbf{a} \times \mathbf{b}=\|\mathbf{a}\|\|\mathbf{b}\| \sin (\theta) \mathbf{n}

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根据定义可以得到

  • 基向量

    \begin{array}{l}{\mathbf{i} \times \mathbf{j}=\mathbf{k}} \\ {\mathbf{j} \times \mathbf{k}=\mathbf{i}} \\ {\mathbf{k} \times \mathbf{i}=\mathbf{j}}\end{array}

  • 反向基向量

    \begin{array}{l}{\mathbf{j} \times \mathbf{i}=-\mathbf{k}} \\ {\mathbf{k} \times \mathbf{j}=-\mathbf{i}} \\ {\mathbf{i} \times \mathbf{k}=-\mathbf{j}}\end{array}

  • 零向量

    \mathbf{i} \times \mathbf{i}=\mathbf{j} \times \mathbf{j}=\mathbf{k} \times \mathbf{k}=\mathbf{0}

向量 \mathbf{u}和 \mathbf {v} 定义为平行于基向量的三个正交元素之和：

\begin{array}{l}{\mathbf{u}=u_{1} \mathbf{i}+u_{2} \mathbf{j}+u_{3} \mathbf{k}} \\ {\mathbf{v}=v_{1} \mathbf{i}+v_{2} \mathbf{j}+v_{3} \mathbf{k}}\end{array}

则

\begin{align} &\mathbf{u} \times \mathbf{v}=\begin{vmatrix}\mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\ u_1&u_2&u_3\\v_1&v_2&v_3\end{vmatrix}\\\\ &=\left(u_{2} v_{3}-u_{3} v_{2}\right) \mathbf{i}+\left(u_{3} v_{1}-u_{1} v_{3}\right) \mathbf{j}+\left(u_{1} v_{2}-u_{2} v_{1}\right) \mathbf{k}\end{align}

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